Question

19．已知p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出两个命题是真命题时a的范围，利用复合命题的真假，推出a的范围即可．

解答 解：p真，则指数函数f（x）=（2a-6）^x的底数2a-6满足0＜2a-6＜1，所以3＜a＜$\frac{7}{2}$．
q真，令g（x）=x²-3ax+2a²+1，易知其为开口向上的二次函数．
因为x²-3ax+2a²+1=0的两根均大于3，
所以①△=（-3a）²-4（2a²+1）=a²-4＞0，a＜-2或a＞2；
②对称轴x=-$\frac{-3a}{2}$=$\frac{3a}{2}$＞3；可得a＞2．
③g（3）＞0，即3²-9a+2a²+1=2a²-9a+10＞0，所以（a-2）（2a-5）＞0．所以a＜2或a＞$\frac{5}{2}$．
综上得a＞$\frac{5}{2}$．
p真q假，由3＜a＜$\frac{7}{2}$及a≤$\frac{5}{2}$，得a∈∅．
p假q真，由a≤3或a≥$\frac{7}{2}$及a＞$\frac{5}{2}$，得$\frac{5}{2}$＜a≤3或a≥$\frac{7}{2}$．
综上所述，实数a的取值范围为（$\frac{5}{2}$，3]∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，指数函数的单调性以及二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．