Question

4．一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个，每张卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片，设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）由题意知抽取的次数ξ可能取值为1、2、3、4，计算概率的分布列，再求出数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是偶数”，
因为奇数加奇数可得偶数，偶数加偶数也得偶数，
所以P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{13}{28}$，
即所得新数是偶数的概率为$\frac{13}{28}$；
（Ⅱ）根据题意，ξ所有可能的取值为1，2，3，4；
计算P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{5}{8}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}{•C}_{7}^{1}}$=$\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}{•C}_{7}^{1}{•C}_{6}^{1}}$=$\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}{•C}_{7}^{1}{•C}_{6}^{1}{•C}_{5}^{1}}$=$\frac{1}{56}$；
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

数学期望为E（ξ）=1×$\frac{5}{8}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{5}{56}$+4×$\frac{1}{56}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，也考查了运用知识解决实际应用问题的能力．