Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，1），且θ∈（0，$\frac{π}{2}$），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$
（1）求θ的值；
（2）求cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得坐标的关系为2sinθ-$\sqrt{3}$=0，即可求出θ的值；
（2）直接根据余弦的和与差公式打开计算即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（sinθ，1），
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$
∴2sinθ-$\sqrt{3}$=0，
即：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）=cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了向量垂直的坐标关系的计算和余弦的和与差公式的运用．属于基础题．