Question

11．若函数f（x）满足：对一切实数x，y都有f（x）+f（y）=x²+y²-$\frac{1}{2}$（x+y）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若函数y=$\sqrt{2f（x）-3x-2a}$的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，在f（x）+f（y）=x²+y²-$\frac{1}{2}$（x+y）中，令x=y可得f（x）+f（x）=x²+x²-$\frac{1}{2}$（x+x），化简即可得答案；
（2）由（1）可得y=$\sqrt{2f（x）-3x-2a}$=$\sqrt{2{x}^{2}-4x-2a}$，若其定义域为R，即2x²-4x-2a≥0恒成立，由二次函数的性质分析可得△=（-4）²-4×2×（-2a）=16+16a≤0，解可得答案．

解答 解：（1）根据题意，对一切实数x，y都有f（x）+f（y）=x²+y²-$\frac{1}{2}$（x+y），
令x=y可得：f（x）+f（x）=x²+x²-$\frac{1}{2}$（x+x），
即f（x）=x²-$\frac{x}{2}$；
（2）函数y=$\sqrt{2f（x）-3x-2a}$=$\sqrt{2{x}^{2}-4x-2a}$，
若其定义域为R，即2x²-4x-2a≥0恒成立，
则有△=（-4）²-4×2×（-2a）=16+16a≤0，
解可得a≤-1，
即a的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及二次函数的性质，关键是利用特殊值法求出函数的解析式．