Question

19．近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨，现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为$\frac{1}{2}$，后2天均为$\frac{4}{5}$，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．
（Ⅰ）求至少有1天需要人工降雨的概率
（Ⅱ）求不需要人工降雨的天数X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对立事件的概率公式求出至少有1天需要人工降雨的概率值；
（Ⅱ）根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是
P₁=${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{2}{25}$，
所以至少有1天需要人工降雨的概率是
P=1-P₁=$\frac{23}{25}$；
（Ⅱ）根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，5；
则P（X=0）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{1}{200}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{11}{200}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{43}{200}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$+${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{73}{200}$，
P（X=4）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{5}$+${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{56}{200}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=5）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{16}{200}$=$\frac{2}{25}$；
∴随机变量X的分布列为：

x	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{200}$	$\frac{11}{200}$	$\frac{43}{200}$	$\frac{73}{200}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{2}{25}$

X的数学期望为EX=0×$\frac{1}{200}$+1×$\frac{11}{200}$+2×$\frac{43}{200}$+3×$\frac{73}{200}$+4×$\frac{7}{25}$+5×$\frac{2}{25}$=3.1．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要注意概率知识的合理运用．