Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+4x+c的最小值为-1，且对任意x都有f（-2+x）=f（-x）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，λ＜1，若g（x）在[-2，2]上是减函数，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先由函数的最小值为-1和对任意x都有f（-2+x）=f（-x），建立方程组求的解析式．
（2）对函数的对称轴和单调区间进行讨论，确定λ的取值范围．

解答 解：（1）已知二次函数f（x）=ax²+4x+c的最小值为-1，
则：$\frac{4ac-16}{4a}$=-1
对任意x都有f（-2+x）=f（-x）．
-$\frac{4}{2a}$=-1
解得：a=2，c=1．
故函数解析式为：f（x）=2x²+4x+1．
（2）由（1）得：f（x）=2x²+4x+1，
由于g（x）=f（-x）-λf（x）+1，
则：g（x）=2（-λ+1）x²-4（λ+1）x+2，
g（x）在[-2，2]上是减函数，
则：①当λ=1时，g（x）=-8x+2，g（x）在[-2，2]上是减函数，
②当λ＞1时g（x）=2（-λ+1）x²-4（λ+1）x+2是开口方向向下的抛物线，
-$\frac{4（1+λ）}{4（1-λ）}$≤-2解得：λ≥$\frac{1}{3}$，
故：1＜λ．
③当λ＜1时g（x）=2（-λ+1）x²-4（λ+1）x+2是开口方向向上的抛物线，
-$\frac{4（1+λ）}{4（1-λ）}$≥2解得：≥3，故无解．
综上所述：λ≥1．
∴实数λ的最小值为1．

点评 本题考查的知识要点：二次函数的解析式的求法，二次函数对称轴和定区间的关系，以及函数的存在性问题．