Question

19．已知函数f（x）=|2x+a|+x（a∈R）
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集
（Ⅱ）已知不等式f（x）≤|x+3|（x＞0）的解集为D，且[1，2]⊆D，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-2时，分类讨论去掉绝对值，求得不等式f（x）≤2x+1的解集．
（Ⅱ）由题意，当1≤x≤2时，不等式f（x）≤|x+3|恒成立，即-3≤2x+a≤3恒成立，由此求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，不等式f（x）≤2x+1，即|2x-2|+x≤2x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-2x+x≤2x+1}\end{array}\right.$  ①，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x-2+x≤2x+1}\end{array}\right.$②．
解①求得$\frac{1}{3}$≤x＜1，解②求得1≤x≤3，
故原不等式的解集为{x|$\frac{1}{3}$≤x≤3}．
（Ⅱ）∵已知不等式f（x）≤|x+3|（x＞0）的解集为D，且[1，2]⊆D，
∴当1≤x≤2时，f（x）=|2x+a|+x≤|x+3|=x+3 恒成立，即|2x+a|≤3恒成立，
即-3≤2x+a≤3恒成立，故有-3-2x≤a≤3-2x恒成立，∴-5≤a≤-1，
即a的范围为[-5，-1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．