Question

8．在四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=2，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值是22．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，再由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=2，即可得到$（\overrightarrow{AD}）^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{3}{16}（\overrightarrow{AB}）^{2}=2$，进一步求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值．

解答 解：在四边形ABCD中，∵$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=2，即$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}）=2$，
∴$（\overrightarrow{AD}）^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{3}{16}（\overrightarrow{AB}）^{2}=2$，
∵$|\overrightarrow{AB}|=8$，$|\overrightarrow{AD}|=5$，
∴${5}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{3}{16}×{8}^{2}=2$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=22．
故答案为：22．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查平面向量数量积的运算，是中档题．