Question

18．已知函数f（x）=log₂$\sqrt{-{x^2}+2x+3}$，则f（x）的定义域是（-1，3）；最大值是2；f（x）的单调增区间是（-1，1）．

Answer 1

分析 根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可，结合二次函数以及对数函数的性质求出函数的最大值以及函数的单调区间即可．

解答 解：由-x²+2x+3＞0，
得x²-2x-3＜0，即（x-3）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜3，
故不等式的解集是（-1，3）；
令g（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
故f（x）≤log₂4=2，
由g（x）的对称轴是x=1，
故g（x）在（-1，1）递增，
即f（x）在（-1，1）递增；
故答案为：（-1，3），2，（-1，1）．

点评 本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．