Question

6．在平面直角坐标系中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），定点A的坐标为（1，2），点M坐标为（4，5），曲线C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}，区域U={P|r≤$\overrightarrow{|MP|}$≤R，0＜r＜R}，曲线C与区域U的交集为两段分离的曲线，则（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$-1＜r＜R＜3$\sqrt{2}$+1
• B． 3$\sqrt{2}$-1＜r＜3$\sqrt{2}$+1≤R
• C． r≤3$\sqrt{2}$-1＜R＜3$\sqrt{2}$+1
• D． r＜3$\sqrt{2}$-1＜R＜3$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由题意求出N的轨迹为以A（1，2）为圆心，以1为半径的圆，区域U为圆环，画出图形，数形结合求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ=（cosθ，0）+（0，sinθ）
=（cosθ，sinθ），
设N（x，y），则$\overrightarrow{AN}=（x-1，y-2）=（cosθ，sinθ）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-2=sinθ}\end{array}\right.$，即（x-1）²+（y-2）²=1．
∴曲线C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}表示以A（1，2）为圆心，以1为半径的圆．
又M（4，5），如图，|MB|=|MA|-1
=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-2）^{2}}=3\sqrt{2}$-1，
|MC|=|MA|+1=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-2）^{2}}=3\sqrt{2}+1$．
要使区域U={P|r≤$\overrightarrow{|MP|}$≤R，0＜r＜R}，
且曲线C与区域U的交集为两段分离的曲线，
则$3\sqrt{2}-1$＜r＜R＜$3\sqrt{2}+1$．
故选：A．

点评 本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题．