Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin$\frac{C}{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，若△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，且$si{n}^{2}A+si{n}^{2}B=\frac{13}{16}si{n}^{2}C$，则c的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由题意得cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$=1-2×$\frac{10}{16}$=-$\frac{1}{4}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，得ab=6
由$si{n}^{2}A+si{n}^{2}B=\frac{13}{16}si{n}^{2}C$，得${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{13}{16}{c}^{2}$
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，可得c²=16，即可

解答 解：由题意得cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$=1-2×$\frac{10}{16}$=-$\frac{1}{4}$
⇒sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，∴ab=6
∵$si{n}^{2}A+si{n}^{2}B=\frac{13}{16}si{n}^{2}C$，则${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{13}{16}{c}^{2}$
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
可得c²=16，∴c=4
故选：D

点评 本题考查了三角恒等变形，余弦定理，属于中档题．