Question

5．已知函数f（x）=-alnx+x-$\frac{a}{x}$（a为常数）有两个不同的极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x₁，x₂，若不等式f（x₁）+f（x₂）＞λ（x₁+x₂）²恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为方程x²-ax+a=0有2个不相等的正实根，根据二次函数的性质求出a的范围即可；
（2）问题转化为λ＜-$\frac{lna}{a}$恒成立，令F（a）=-$\frac{lna}{a}$，a＞4，根据函数的单调性求出λ的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
由函数f（x）=-alnx+x-$\frac{a}{x}$有2个不同的极值点，
即方程x²-ax+a=0有2个不相等的正实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=a＞0}\\{{{x}_{1}x}_{2}=a＞0}\\{△{=a}^{2}-4a＞0}\end{array}\right.$，∴a＞4；
（2）由（1）得：x₁+x₂=a，x₁x₂=a，a＞4，
∴f（x₁）+f（x₂）=-alnx₁x₂+x₁+x₂-a$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞λ${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$，
故λ＜-$\frac{lna}{a}$恒成立，
令F（a）=-$\frac{lna}{a}$，a＞4，
∵F′（a）=$\frac{lna-1}{{a}^{2}}$＞0，F（a）递增，
∴F（a）＞F（4）=-$\frac{ln2}{2}$，
∴λ≤-$\frac{ln2}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．