Question

16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10…，第n个三角形数为$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，记第n个k边行数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式
三角形数；N=（n，3）=$\frac{1}{2}$n²$+\frac{1}{2}$n，正方形数：N=（n，4）=$\frac{2}{2}$n²+0n，五边形数：N=（n，5）=$\frac{3}{2}$n²$-\frac{1}{2}$n，六边形数；N（n，6）=$\frac{4}{2}$n²$-\frac{2}{2}$n…由此推测N（8，8）=176．

Answer 1

分析 观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得NN（n，k）=$\frac{k-2}{2}{n}^{2}$+$\frac{4-k}{2}$n，代入n=8，k=8计算可得．

解答 解：原已知式子可化为：N=（n，3）=$\frac{1}{2}$n²$+\frac{1}{2}$n，
正方形数：N=（n，4）=$\frac{2}{2}$n²+0n，
五边形数：N=（n，5）=$\frac{3}{2}$n²$-\frac{1}{2}$n，
六边形数；N（n，6）=$\frac{4}{2}$n²$-\frac{2}{2}$n
…由此推测由归纳推理可得
N（n，k）=$\frac{k-2}{2}{n}^{2}$+$\frac{4-k}{2}$n，
故N（8，8）=$\frac{6}{2}×{8}^{2}-\frac{4}{2}×8=176$；
故答案为：176．

点评 本题考查了合情推理的归纳推理；归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．