Question

4．已知函数y=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的部分图象如图所示，当x=$\frac{π}{12}$时，y取得最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，取得最小值-1
（1）求ω的值
（2）若$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1，求方程f（x）=a在区间[0，2π]上的所有实数根的和．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（2）根据题意，在区间[0，2π]上，正好包含2个周期，方程sin（2x+$\frac{π}{3}$）=a有4个根，且x₁+x₂=2×$\frac{π}{12}$，x₃+x₄=2•（π+$\frac{π}{12}$）=2π+$\frac{π}{6}$，由此求得 x₁+x₂+x₃+x₄．

解答 解：（1）根据函数y=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的部分图象，
当x=$\frac{π}{12}$时，y取得最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，取得最小值-1，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2．
（2）若$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1，方程即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=a，
在区间[0，2π]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{13π}{3}$]．
函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的周期为π，在区间[0，2π]上，
正好包含2个周期，方程sin（2x+$\frac{π}{3}$）=a有4个根，
且x₁+x₂=2×$\frac{π}{12}$，x₃+x₄=2•（π+$\frac{π}{12}$）=2π+$\frac{π}{6}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{7π}{3}$．

点评 本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．