Question

19．如图，在四棱锥C-ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=6$\sqrt{2}$，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{21}$
• D． $\sqrt{42}$

Answer 1

分析 首先根据异面直线所成的角得到∠CDO=30°，求出OC，利用补形法得到长方体的对角线长度即为外接球的直径．

解答 解：由条件可知AB∥OD，所以∠CDO为异面直线CD与AB所成角，
故∠CDO=30°，而OD=6，故OC=ODtan30°=2$\sqrt{3}$，
在直角梯形ABOD中，易得OB=6，以OB，OC，OD为相邻的三条棱，
补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R即为所求的球的半径，
由（2R）²=（2$\sqrt{3}$）²+6²+6²=84，故R=$\sqrt{21}$．
故选C．

点评 本题考查了几何体的外接球的半径求法；利用了补形法转化为求长方体的体对角线．