Question

11．已知曲线C：f（x）=x³-6x²+9x+d，直线l₁：y=-3x+b，直线l₂：y=k（x-2）+f（2），（其中b，d，k皆为实常数）试分析下列命题：
①d=0时，函数y=f（x）恰有两个零点；
②?d∈R，f（1）+f（3）=2f（2）；
③?b∈R，直线l₁与曲线C有且仅有一个公共点；
④?d，k∈R，直线l₂与曲线C恰有两个不同的公共点．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①取d=0，求出原函数的导函数并求得函数的极值，可知d=0时，函数y=f（x）恰有两个零点；
②直接求解等式左右两边判断；
③由x³-6x²+9x+d=-3x+b，得x³-6x²+12x=b-d，构造函数g（x）=x³-6x²+12x，求导可知函数g（x）为单调函数，再由x→-∞时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→+∞判断；
④由①可知，当d=k=0时，直线l₂与曲线C恰有两个不同的公共点．

解答 解：①当d=0时，f（x）=x³-6x²+9x，f′（x）=3x²-12x+9，
由f′（x）=3x²-12x+9=0，得x₁=1，x₂=3，
∴f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上为增函数，
在（1，3）上为减函数，且极大值f（1）=4＞0，极小值f（3）=0．
∴函数y=f（x）恰有两个零点，故①是真命题；
②?d∈R，f（1）+f（3）=4+2d，2f（2）=8+2d，f（1）+f（3）≠2f（2），故②是假命题；
③由x³-6x²+9x+d=-3x+b，得x³-6x²+12x=b-d，
令g（x）=x³-6x²+12x，得g′（x）=3x²-12x+12=3（x-2）²≥0，
∴函数g（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数，又x→-∞时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→+∞，
∴?b∈R，方程x³-6x²+9x+d=-3x+b有且只有一个实数根，
即直线l₁与曲线C有且仅有一个公共点，故③是真命题；
④当d=0时，f（x）=x³-6x²+9x，由①知其图象如图：
直线l₂过定点（2，4），
可知当k=0时，直线l₂与曲线C恰有两个不同的公共点，
故④正确．
∴其中真命题的个数为3个．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．