Question

11．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tanC=2，则$\frac{sinA}{sinB}$的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\sqrt{3}$）
• C． （0，$\sqrt{5}$）
• D． （$\frac{1}{2}，2$）

Answer 1

分析 由锐角△ABC中，tanC=2．当A→90°时，sinB→$\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{sinA}{sinB}$→$\sqrt{5}$．当A→0°时，$\frac{sinA}{sinB}$→0．即可得出．

解答 解：由锐角△ABC中，tanC=2．可得：cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
当A→90°时，sinB→$\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{sinA}{sinB}$→$\sqrt{5}$．
当A→0°时，$\frac{sinA}{sinB}$→0．
∴$\frac{sinA}{sinB}$的取值范围是（0，$\sqrt{5}$）．
故选：C．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、极限思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．