Question

14．已知等差数列{a_n}的前三项分别为λ，6，3λ，前n项和为S_n，且S_k=165．
（1）求λ及k的值；
（2）设b_n=$\frac{3}{2Sn}$，且数列{b_n}的前n项和T_n，证明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由λ，6，3λ成等差数列，可得λ+3λ=12，解得λ，再利用求和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和方法与数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：∵λ，6，3λ成等差数列，∴λ+3λ=12，∴λ=3．（2分）
∴等差数列{a_n}的首项a₁=3，公差d=3，（3分）
故前n项和S_n=$3n+\frac{n（n-1）}{2}$×3=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$，
由S_k=165，即$\frac{3{k}^{2}+3k}{2}$=165，解得k=10．（6分）
（2）证明：∵b_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，（8分）
∴T=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．（10分）
由于T_n=$\frac{n}{n+1}$是关于n的增函数，故T_n≥T₁=$\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．（12分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．