Question

5．已知数列{a_n}，满足a₁=-$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$，则数列{a_n}的前n项和的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用裂项求和方法可得a_n．再利用等差数列的求和公式与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）$+$（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-2}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$+$\frac{1}{{a}_{1}}$
=2$[（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）]$-2
=-$\frac{2}{n}$，
∴a_n=-$\frac{n}{2}$．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{1}{4}$$（n+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{16}$．
∴n=1时，S_n取得最大值为-$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了裂项求和方法、等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．