Question

13．已知圆心为C的圆过原点O（0，0），且直线2x-y+2=0与圆C相切于点P（0，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点Q（0，1）的直线l的斜率为k，且直线l与圆C相交于A，B两点．
①若k=2，求弦AB的长；
②若圆C上存在点D，使得$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}$，求直线l的斜率k．

Answer 1

分析 （1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，4+2E=0，∴$\frac{2-1}{\frac{D}{2}}=-\frac{1}{2}$，解得D、E即可；
 （2）①直线l的方程为：y=2x+1，由圆心到直线l的距离为d=$\frac{2×2-1+1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，可得$AB=2\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
②由$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}$，得四边形CADB为菱形，即C到直线AB的距离为半径的一半，设直线l的方程为：y=kx+1，$\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$解得k．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，
∵点（0，2）在圆上，∴4+2E=0，∴E=-2，
∵直线2x-y+2=0与圆C相切，∴$\frac{2-1}{\frac{D}{2}}=-\frac{1}{2}$，解得D=-4，
∴圆C的方程：x²+y²-4x-2y=0．
（2）①直线l的方程为：y=2x+1，即2x-y+1=0，
圆C的圆心为（2，1），半径为R=$\sqrt{5}$，
圆心到直线l的距离为d=$\frac{2×2-1+1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴$AB=2\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
②如图，∵$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}$，∴四边形CADB为菱形，
∴C到直线AB的距离为半径的一半，
设直线l的方程为：y=kx+1，
$\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{55}}{11}$，
∴直线l的斜率k为$±\frac{\sqrt{55}}{11}$．

点评 本题考查了圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．