Question

8．已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A（7，6），则|PA|+|PM|的最小值为6$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求．

解答 解：依题意可知，抛物线焦点为（1，0），
准线方程为x=-1，
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，
（因为x轴与准线间距离为定值$\frac{p}{2}$=1不会影响讨论结果），
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可．
（F为曲线焦点），
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，
由两点间距离公式得|FA|=$\sqrt{（7-1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值，
为|FA|-$\frac{p}{2}$=6$\sqrt{2}$-1．
故答案为：6$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查了抛物线的定义和简单性质，考查了学生数形结合的思想和分析推理能力，属于中档题．