Question

17．若随机变量X的分布列如表，则a²+b²的最小值为（　　）

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	a	b

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{2}{9}$
• C． $\frac{3}{9}$
• D． $\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 由随机变量X的分布列得到$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{b≥0}\\{a+b=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，由此利用均值不等式能求出a²+b²的最小值．

解答 解：由随机变量X的分布列知：
$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{b≥0}\\{a+b=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{9}$，
当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时，取等号，
此时a²+b²≥2ab=$\frac{2}{9}$．
∴a²+b²的最小值为$\frac{2}{9}$．
故选：B．

点评 本题考查两数平方和的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、均值不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空中想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．