Question

2．设f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，利用定义法证明f（x）在R上是单调递增函数．

Answer 1

分析 在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，推导出f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$＜0，由此能证明f（x）在R上是单调递增函数．

解答 证明：在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}-\frac{{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+2}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+2×{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-2×{4}^{{x}_{2}}}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$
=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{1}}-{4}^{{{x}_{2}}^{\;}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+2）（{4}^{{x}_{2}}+2）}$＜0，
∴f（x）在R上是单调递增函数．

点评 本题考查f（x）在R上是单调递增函数的证明，考查函数单调性等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．