Question

7．已知|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°．求：
（1）|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|；
（2）$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先利用两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，求再根据|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）}^{2}}$，计算求得结果．
（2）利用两个向量的夹角公式，求得$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值．

解答 解：（1）∵已知|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3×4×cos60°=6，
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}{+\overrightarrow{AC}}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-2×6{+4}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
（2）设$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=9-6=3，
cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）}{|\overrightarrow{AB}•|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{3×\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，两个向量的夹角公式，属于基础题．