Question

15．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）

• A． y=$\sqrt{x}$
• B． y=xsinx
• C． y=lg$\frac{1-x}{1+x}$
• D． y=e^x-e^-x

Answer 1

分析 A．y=$\sqrt{x}$（x≥0）为非奇非偶函数，即可判断出正误；
B．y=xsinx（x∈R）为偶函数，即可判断出正误；
C．由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1．又f（-x）+f（x）=0，因此函数f（x）为奇函数，变形为f（x）=lg$（\frac{2}{1+x}-1）$，在（0，1）内单调递减，即可判断出正误．
D．f（x）=e^x-e^-x，（x∈R），f（-x）+f（x）=0，可得f（x）为R上的奇函数，再判断出f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，1）上单调性即可得出结论．

解答 解：A．y=$\sqrt{x}$（x≥0）为非奇非偶函数，不符合题意；
B．y=xsinx（x∈R）为偶函数，不符合题意；
C．由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1．又f（-x）+f（x）=$lg\frac{1+x}{1-x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$=lg1=0，
因此函数f（x）为奇函数，但是
f（x）=lg$（\frac{2}{1+x}-1）$，在（0，1）内单调递减，不符合题意．
D．f（x）=e^x-e^-x，（x∈R），f（-x）+f（x）=e^-x-e^x+e^x-e^-x=0，
∴f（x）为R上的奇函数，且f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，1）上单调递增，满足条件．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．