Question

6．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，若t∈[0，1]，则|t（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{b}$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{193}}}{12}$
• B． $\frac{13}{12}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow{b}=（0，1）$，求出|t（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{b}$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）|，再由其几何意义求解．

解答 解：如图，
设$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}=（0，1）$，
∴$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（-1，1）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（1，-1）$，
∴t（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$=t（-1，1）+（1，0）=（1-t，t），
$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{b}$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{5}{12}×（0，1）+（1-t）×（1，-1）$=（0，$\frac{5}{12}$）+（1-t，t-1）=（1-t，t-$\frac{7}{12}$），
∴|t（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{b}$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）|
=$\sqrt{（1-t）^{2}+{t}^{2}}+\sqrt{（1-t）^{2}+（t-\frac{7}{12}）^{2}}$．
其几何意义为动点P（t，t）到两定点C（1，0）与D（1，$\frac{7}{12}$）距离的和，
如图，
点D关于直线y=x的对称点为G（$\frac{7}{12}，1$），
其最小值为|GC|=$\sqrt{（\frac{7}{12}-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\frac{13}{12}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．