Question

1．已知点M（-1，0）和N（1，0），若某直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“椭型直线”．现有下列直线：①x-2y+6=0；②x-y=0；③2x-y+1=0；④x+y-3=0．其中是“椭型直线”的是（　　）

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，把直线方程分别代入椭圆方程看是否有解即可判断出结论．

解答 解：根据题意，点M（-1，0）和N（1，0），若|PM|+|PN|=4，
则P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²+4y²-12=0，
对于①，把x-2y+6=0代入椭圆方程，变形整理可得16y²-68y+96=0，
由△=68²-4×16×（96）=-1520＜0，即直线与椭圆没有交点，
则x-2y+6=0不是“椭型直线”；
对于②，把x-y=0即y=x代入椭圆方程，解可得x²=$\frac{12}{7}$，
直线x-y=0与椭圆有2个交点，即直线x-y=0是“椭型直线”；
对于③，把直线2x-y+1=0代入椭圆方程，变形整理可得19x²+16x-8=0，
由△=（16）²-4×19×（-8）＞0，直线与椭圆有2个交点，
则2x-y+1=0是“椭型直线”；
对于④，把直线x+y-3=0代入椭圆方程，变形整理可得7x²-24x+24=0，
有△=（-24）²-4×7×24＜0，即直线与椭圆没有交点，
则x+y-3=0不是“椭型直线”；
则②③是“椭型直线”
故选：C．

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解．