Question

13．对于数列{x_n}，若对任意n∈N^*，都有x_n+2-x_n+1＜x_n+1-x_n成立，则称数列{x_n}为“减差数列”．设${b_n}=2t-\frac{{t{n^2}-n}}{{{2^{n-1}}}}$，若数列${b_5}，{b_6}，{b_7}，…，{b_n}（{n≥5，n∈{N^*}}）$是“减差数列”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{3}{5}}）$
• B． $（{0，\frac{3}{5}}]$
• C． $（{\frac{3}{5}，+∞}）$
• D． $[{\frac{3}{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 利用新定义列出b_n+b_n+2＜2b_n+1（n≥5），转化为t与n的不等式，利用函数的最值求解实数t的取值范围．

解答 解：由数列${b_5}，{b_6}，{b_7}，…，{b_n}（{n≥5，n∈{N^*}}）$是“减差数列”，得b_n+b_n+2＜2b_n+1（n≥5），
即$t-\frac{{t{n^2}-n}}{2^n}+$$t-\frac{{t{{（{n+2}）}^2}-（{n+2}）}}{{{2^{n+2}}}}＜2t-\frac{{t{{（{n+1}）}^2}-（{n+1}）}}{2^n}$，
即$\frac{{t{n^2}-n}}{2^n}+\frac{{t{{（{n+2}）}^2}-（{n+2}）}}{{{2^{n+2}}}}＞\frac{{t{{（{n+1}）}^2}-（{n+1}）}}{2^n}$，
化简得t（n²-4n）＞n-2，
当n≥5时，若t（n²-4n）＞n-2恒成立，则$t＞\frac{n-2}{{{n^2}-4n}}=\frac{1}{{（{n-2}）-\frac{4}{n-2}}}$恒成立，
又当n≥5时，y=$\frac{1}{{（{n-2}）-\frac{4}{n-2}}}$是减函数，n=5时表达式取得最大值为$\frac{3}{5}$，
则t的取值范围是$（{\frac{3}{5}，+∞}）$．
故选：C．

点评 本题考查数列的应用，数列与函数的关系，考查转化思想以及计算能力．