Question

14．已知函数f（x）=（2x²-x-1）e^x，则方程e[f（x）]²+tf（x）-9$\sqrt{e}$=0（t∈R）的根的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 作出函数f（x）的大致图象，分析关于f（x）这一整体的二次方程根的情况，依据根的情况分类讨论．

解答 解：∵函数f（x）=（2x²-x-1）e^x，∴f′（x）=（2x-1）（x+2）e^x，
且f（-2）=$\frac{9}{{e}^{2}}$，f（$\frac{1}{2}$）=-$\sqrt{e}$，
f（x）的大致图象如图，

令t=f（x），
设方程e[f（x）]²+tf（x）-9$\sqrt{e}$=0的两根为m₁，m₂，
则m₁m₂=-$\frac{9\sqrt{e}}{e}$=f（-2）f（$\frac{1}{2}$），
若m₁=$\frac{9}{{e}^{2}}$，m₂=-$\sqrt{e}$，有三根；
若0＜m₁＜$\frac{9}{{e}^{2}}$有三根，此时m₂＜-$\sqrt{e}$无根，也有三根，
当m₁＞$\frac{9}{{e}^{2}}$有1根，此时-$\sqrt{e}$＜m₂＜0有两根，也有三根，
故选：B．

点评 考查利用导函数分析出的单调性、极值作简图，考查复合函数的零点问题．利用换元法简化方程，考查数形结合．作图、分析根个数，难度较大，属于难题．