Question

6．设S_n表示数列{a_n}的前n项和，已知$\frac{{S}_{5}}{{S}_{10}}$=$\frac{1}{3}$，若{a_n}是等比数列，则公比q=$\root{5}{2}$；若{a_n}是等差数列，则$\frac{{S}_{10}}{{S}_{20}}$=$\frac{3}{10}$．

Answer 1

分析 若{a_n}是等比数列，则q≠1，可得$\frac{{S}_{5}}{{S}_{10}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}}{\frac{{a}_{1}（{q}^{10}-1）}{q-1}}$=$\frac{1}{3}$，化简解得q．若{a_n}是等差数列，不妨设S₅=1，S₁₀=3，利用S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀，S₂₀-S₁₅成等差数列，即可得出．

解答 解：若{a_n}是等比数列，则q≠1，∴$\frac{{S}_{5}}{{S}_{10}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}}{\frac{{a}_{1}（{q}^{10}-1）}{q-1}}$=$\frac{1}{3}$，可得q⁵=2，解得q=$\root{5}{2}$．
若{a_n}是等差数列，不妨设S₅=1，S₁₀=3，
则S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀，S₂₀-S₁₅成等差数列，
∴2×（3-1）=1+S₁₅-3，解得S₁₅=6．
∴2×（6-3）=2+S₂₀-6，解得S₂₀=10．
则$\frac{{S}_{10}}{{S}_{20}}$=$\frac{3}{10}$．
故答案为：$\root{5}{2}$，$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力属于中档题．