Question

16．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）求直线l的普通方程；
（2）若P是曲线C上的动点，求点P到直线l的最大距离及点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．可设P（1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）．利用点到直线的距离公式可得点P到直线l的距离d=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$sin$（α+\frac{π}{4}）$，利用三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
可得x+y-5=0．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．可设P（1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）．
则点P到直线l的距离d=$\frac{|1+\sqrt{2}cosα+\sqrt{2}sinα-5|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$sin$（α+\frac{π}{4}）$，
当sin$（α+\frac{π}{4}）$=-1时，d取得最大值3$\sqrt{2}$．
取α=$\frac{5π}{4}$，可得P（0，-1）．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．