Question

1．已知集合A={x|（x+m）（x-2m-1）＜0}，其中m∈R，集合B={x|$\frac{1-x}{x+2}$＞0}．
（1）当m=$\frac{1}{2}$时，求A∪B；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分别求出集合B和A，由此利用并集定义能求出A∪B．
（2）当A=∅时，m=-$\frac{1}{3}$，不符合题意，当A≠∅时，m$≠-\frac{1}{3}$，根据-m＜2m+1和-m＞2m+1进行分类讨论经，能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）集合B={x|$\frac{1-x}{x+2}$＞0}={x|-2＜x＜1}，
当m=$\frac{1}{2}$时，（x+m）（x-2m-1）＜0可化为（x+$\frac{1}{2}$）（x-2）＜0，
解得-$\frac{1}{2}＜x＜2$，
∴A={x|-$\frac{1}{2}＜x＜2$}，
∴A∪B={x|-2＜x＜2}．
（2）当A=∅时，m=-$\frac{1}{3}$，不符合题意，
当A≠∅时，m$≠-\frac{1}{3}$，
①当-m＜2m+1，即m＞-$\frac{1}{3}$时，A={x|-m＜x＜2m+1}，
∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞-\frac{1}{3}}\\{-m≤-2}\\{2m+1≥1}\end{array}\right.$，∴m≥2．
②当-m＞2m+1，即m＜-$\frac{1}{3}$时，A={x|2m+1＜x＜-m}，
∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜-\frac{1}{3}}\\{2m+1≤-2}\\{-m≥1}\\{\;}\end{array}\right.$，解得m≤-$\frac{3}{2}$．
综上所述：实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[2，+∞）．

点评 本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式、并集、子集等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．