Question

20．已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若m=1，过点（-2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）若曲线C表示圆，且直线x-y-1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得当m=1时，曲线C是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，进而设直线l为：y-3=k（x+2），由点到直线的距离公式分析可得$\frac{{|{k-2+2k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解可得k的值，代入直线方程即可得答案；
（2）首先分析曲线C表示圆时m的取值范围，再假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，设出A、B的坐标，若以AB为直径的圆过原点，必有OA⊥OB，由此分析可得x₁x₂+y₁y₂=0，联立直线与圆的方程，由根与系数的关系分析${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{m+5}{2}+\frac{m-1}{2}=m+2=0$，解可得m的值，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，当m=1时，曲线C：x²+y²-2x-4y+1=0，即（x-1）²+（y-2）²=4，
是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，
故可设直线l为：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
由题意知，圆心C（1，2）到直线l的距离等于$\sqrt{{2^2}-{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=1$，
即：$\frac{{|{k-2+2k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$
解得k=0或$k=-\frac{3}{4}$．
故的方程y=3或$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$（即3x+4y-6=0）．
（2）由曲线C表示圆x²+y²-2x-4y+m=0，即（x-1）²+（y-2）²=5-m，
所以圆心C（1，2），半径$r=\sqrt{5-m}$，则必有m＜5．
假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-4y+m=0}\\{x-y-1=0}\end{array}$得2x²-8x+5+m=0，
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，
又m＜5，故m＜3，
从而${x_1}+{x_2}=4，{x_1}{x_2}=\frac{m+5}{2}$
∴${y_1}{y_2}=（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）={x_1}{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）+1=\frac{m+5}{2}-3=\frac{m-1}{2}$
∴${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{m+5}{2}+\frac{m-1}{2}=m+2=0$
∴m=-2＜3，
故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=-2．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系问题时需要分析直线的斜率是否存在．