Question

2．如图，某开发区内新建两栋楼AB，CD（A，C为水平地面），已知楼AB的高度为10m，两楼间的距离AC为70m．
（1）若在AC上距离楼AB30m的点P处测得两楼的张角∠BPD=135°，求楼CD的高度；
（2）若楼CD的高度为20米，试在AC上确定一点P，使得张角∠BPD最大．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABP和PCD中，由∠B+∠D=135°，利用两角和的正切公式得到CD的方程解之；
（2）设AP=x，利用两角和的正切公式得到x的解析式，变形后利用基本不等式求最大值时的x值．

解答 解：（1）由题意，AP=30，PC=40，AB=10，所以tan∠B=$\frac{AP}{AB}$=3，又∠B+∠D=135°，所以tan（∠B+∠D）=$\frac{tanB+tanD}{1-tanBtanD}=1$，即$\frac{3+\frac{40}{CD}}{1-3×\frac{40}{CD}}=1$，解得CD=20；
（2）设AP=x，则PC=70-x，tanB=$\frac{AP}{AB}=\frac{x}{10}$，tanD=$\frac{PC}{CD}=\frac{70-x}{20}$，所以tan（B+D）=$\frac{tanB+tanD}{1-tanBtanD}=\frac{\frac{x}{10}+\frac{70-x}{20}}{1-\frac{x}{10}•\frac{70-x}{20}}$=$\frac{10（x+70）}{{x}^{2}-70x+200}$，
令t=70+x∈[7-，140]，则tan∠BPD=$\frac{10t}{{t}^{2}-210t+10000}$=$\frac{10}{t+\frac{10000}{t}-210}$，其中$t+\frac{10000}{t}≥2\sqrt{t×\frac{10000}{t}=2}00$，当且仅当t=100即x=30时等号成立，
所以$\frac{10}{t+\frac{10000}{t}-210}$≤-1或者$\frac{10}{t+\frac{10000}{t}-210}$＞0，即tan∠BPD≤-1，或tan∠BPD＞0，要使得张角∠BPD最大只要使得张角∠BPD=-1，所以x=30；
楼CD的高度为20米，APwei 30m时，使得张角∠BPD最大．

点评 本题考查了解三角形的应用；关键是借助于直角三角形建立边角的方程以及基本不等式求最值；属于中档题．