Question

11．是否存在θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．使z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）对一切复数z恒成立？

Answer 1

分析 z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）=z²-（tanθ+tan3θ）z+tanθ•tan3θ对一切复数z恒成立，可得-（tanθ+tan3θ）=8，tanθ•tan3θ=9．利用倍角公式可得tanθ．另一方面由tanθ，tan3θ是一元二次方程t²+8t+9=0的两个实数根，解得：tanθ，即可判断出结论．

解答 解：z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）=z²-（tanθ+tan3θ）z+tanθ•tan3θ对一切复数z恒成立，
∴-（tanθ+tan3θ）=8，tanθ•tan3θ=9．
由tanθ•tan3θ=tanθ•$\frac{tan2θ+tanθ}{1-tanθ•tan2θ}$
=tanθ•$\frac{\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}+tanθ}{1-\frac{2ta{n}^{2}θ}{1-ta{n}^{2}θ}}$=tanθ•$\frac{3tanθ-ta{n}^{3}θ}{1-3ta{n}^{2}θ}$=9．
化为：（tan²θ）²-30tan²θ+9=0，
解得tan²θ=15±$6\sqrt{6}$，
解得tanθ=±（3±$\sqrt{6}$）．
由tanθ，tan3θ是一元二次方程t²+8t+9=0的两个实数根，
解得：tanθ=-4+$\sqrt{7}$，或-4-$\sqrt{7}$．
得出矛盾，因此不存在θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．使z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）对一切复数z恒成立．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、一元二次方程的解法、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．