Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知$\frac{sin2A}{sinB}=\frac{a}{b}$．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{sin2A}{sinB}=\frac{a}{b}$，可得$\frac{2sinAcosA}{sinB}$=$\frac{sinA}{sinB}$，利用正弦定理化为：cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．即可得出A．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得b．再利用三角形面积计算公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$．

解答 解：（1）∵$\frac{sin2A}{sinB}=\frac{a}{b}$，∴$\frac{2sinAcosA}{sinB}$=$\frac{sinA}{sinB}$，化为：cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²-3b+2=0，
解得b=1，或2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力属于中档题．