Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），求f（-2011）+f（2013）的值．

Answer 1

分析 根据条件得到f（x+4）=f（x），利用函数的奇偶性，将条件进行转化即可得到结论．

解答 解：当x≥0，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴此时f（x+4）=f（x），
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵当x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1，
即f（2013）=1，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-2011）=f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=f（1）=1，
∴f（-2011）+f（2013）=1+1=2．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．