Question

18．已知偶函数f（x）的导数为f′（x）（x∈R），且在[0，+∞）上满足f′（x）＜x³，若f（m-3）-f（m）≥$\frac{1}{4}$[（m-3）⁴-m⁴]，则实数m的取值范围为[$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 构造辅助函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}{x}^{4}$，由题意可得g（x）是偶函数，求导判断g（x）的单调性，把f（m-3）-f（m）≥$\frac{1}{4}$[（m-3）⁴-m⁴]转化为g（m-3）≥g（m），利用单调性转化为关于m的不等式求解．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}{x}^{4}$，
∵g（-x）-g（x）=f（-x）-$\frac{1}{4}（-x）^{4}$-f（x）-$\frac{1}{4}{x}^{4}$=0，
∴函数g（x）为偶函数，
∵x∈[0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x³＜0，
∴函数g（x）在x∈[0，+∞）为减函数，
f（m-3）-f（m）≥$\frac{1}{4}$[（m-3）⁴-m⁴]，即f（m-3）-$\frac{1}{4}（m-3）^{4}$≥f（m）-$\frac{1}{4}{m}^{4}$，
也即g（m-3）≥g（m），
∴g（|m-3|）≥g（|m|），
则|m-3|≤|m|，解得：m$≥\frac{3}{2}$．
∴实数m的取值范围为[$\frac{3}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，正确构造函数是关键，是中档题．