Question

9．已知函数f（x）=x-${e^{\frac{x}{a}}}$存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e^x相切，符合情况的切线l有0条．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，消去a得e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$x₀-1，设h（x）=e^xx-e^x-1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．

解答 解：函数f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{a}$e${\;}^{\frac{x}{a}}$，
依题意可知，f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，
①a＜0时，f′（x）＜0 在（-∞，+∞）无解，不符合题意；
②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e${\;}^{\frac{x}{a}}$，lna＞$\frac{x}{a}$，x＜alna符合题意，则a＞0．
易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1-$\frac{1}{a}$）x-1．
假设l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），
即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，
消去a得e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$x₀-1，
设h（x）=e^xx-e^x-1，
则h′（x）=e^xx，令h′（x）＞0，则x＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
当x→-∞，h（x）→-1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则e${\;}^{{x}_{0}}$＞1，
而a＞0时，1-$\frac{1}{a}$＜1，与e${\;}^{{x}_{0}}$＞1矛盾，所以不存在．
故答案为：0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用，属于中档题．