Question

18．若关于x的一元二次不等式x²-3ax+2a²≥0的解集是（-∞，x₁]∪[x₂，+∞）（x₁≠x₂），则a（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由题意可得x₁，x₂为x²-3ax+2a²=0的解，运用韦达定理，可得a（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3a²+$\frac{1}{2{a}^{2}}$，再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：关于x的一元二次不等式x²-3ax+2a²≥0的解集是（-∞，x₁]∪[x₂，+∞）（x₁≠x₂），
可得x₁，x₂为x²-3ax+2a²=0的解，
即有x₁+x₂=3a，x₁x₂=2a²，
则a（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3a²+$\frac{1}{2{a}^{2}}$≥2$\sqrt{3{a}^{2}•\frac{1}{2{a}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
当且仅当3a²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$时，上式取得最小值$\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 本题考查二次不等式和二次方程的关系，注意运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．