Question

2．在直角坐标系xOy中，设直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）相交于A、B两点．
（1）若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，求直线l的极坐标方程；
（2）设点P（2，$\sqrt{3}$），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用平方关系化为普通方程．把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入椭圆方程可得：13t²+56t+48=0，利用根与系数的关系可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），可得：$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
可得极坐标方程：$\sqrt{3}ρcosθ$-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0；
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
把直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入椭圆方程可得：13t²+56t+48=0，
可得：t₁+t₂=-$\frac{56}{13}$，t₁t₂=$\frac{48}{13}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=$\frac{56}{13}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．