Question

已知抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）设

AF

=λ•

FB

，求△ABO的面积S的最小值；
（3）在（2）的条件下若S≤

5

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可设l的方程x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得y²-4my-4=0．设A、B点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞0＞y₂），由根与系数关系可得x₁x₂和y₁y₂的值，代入数量积公式可得； （2）由

AF

=λ•

FB

，计算可得y₂=-

2

λ

，y₁=2

λ

，代入可得S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

λ

+

1

λ

，由基本不等式可得；（3）可得 

λ

+

1

λ

≤

5

解之即可．

解答：解：（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，
将其与C的方程联立，消去x可得y²-4my-4=0．
设A、B点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞0＞y₂），则y₁y₂=-4．
因为y12=4x₁，y22=4x₂，所以x₁x₂=

1

16

y12y22=1，
故

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3    …（4分）
（2）因为

AF

=λ•

FB

，所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），
即  1-x₁=λx₂-λ①-y₁=λy₂②
又y12=4x₁  ③，y22=4x₂，④，由②③④消去y₁，y₂后，得到x₁=λ²x₂，将其代入①，
注意到λ＞0，解得x₂=

1

λ

．从而可得y₂=-

2

λ

，y₁=2

λ

，故△OAB的面积S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

λ

+

1

λ

因为

λ

+

1

λ

≧2恒成立，故△OAB的面积S的最小值是2…（8分）．
（3）由 

λ

+

1

λ

≤

5

解之得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

  …（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及圆锥曲线和基本不等式的应用，属中档题．