Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．
（Ⅰ）若x＞1，求证：；
（Ⅱ）求实数k的取值范围，使得方程有四个不同的实数根．

Answer 1

解：（Ⅰ）令=，．
当x＞1时，F'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵F（x）在x=1 处连续，∴F（x）＞F（1）．
∵F（1）=0，∴当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0 恒成立．
∴．
（Ⅱ）原方程化为，
令，则．
∵G（-x）=G（x），∴G（x）是偶函数．
当x≥0时，（x≥0），
则=．
∵x≥0，∴令G'（x）=0，得x=1．
当x∈[0，1），G'（x）＜0，G（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），G'（x）＞0，G（x）单调递增．
∴x≥0时，在x=1处G（x）取得极小值为G（1）=．
又G（0）=0，∴当k∈（，0）时函数（x≥0）与y=k 有两个不同的交点．
∵G（x）是偶函数，
∴G（x）=k在k∈（，0）时有四个不同的实数根．
分析：（Ⅰ）先令=，求导数得到．
利用导数的性质得出F（x）在（1，+∞）上是增函数．F（x）＞F（1）．从而证得结论；
（Ⅱ）原方程化为，令，则．
利用导数研究其单调性即可解决问题．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．