Question

（2013•成都二模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对?x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂时都有 f（x₁）≥f（x₂），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又当x∈[0，

1

4

]时，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命题：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，时，f（x₁）≠f（x）
③f（

1

8

）+f（

5

11

）+f（

7

13

）+f（

7

8

）=2；
④当x∈[0，

1

4

]时，f（f（x））≤f（x）．
其中你认为正确的所有命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：对于①，在等式f（x）+f（l-x）=l中取x=0，得f（1）=0，然后直接利用“非增函数”的定义进行判断；
②可以根据“非增函数”的定义进行判断．③利用条件f（x）+f（l-x）=l，可得f（

1

8

）+f（

7

8

）=1，然后求f（

5

11

）和f（

7

13

）的值．
④当x∈[0，

1

4

]时，判断f（x）与x的大小关系即可．

解答：解：对于①，因为f（0）=1，且f（x）+f（l-x）=l，取x=0，得f（1）=0，对?x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
对于②，由定义可知当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，f（x₁）与f（x₂）可能相等．所以②不正确；
③由f（x）+f（l-x）=l，得f（

1

8

）+f（

7

8

）=1．因为当x∈[0，

1

4

]时f（x）≤-2x+1恒成立，所以f（

1

4

）≤

1

2

，又f（x）+f（l-x）=l，所以f（

1

2

）=

1

2

，而

1

4

＜

1

2

，所以f（

1

4

）≥

1

2

，即f（

1

4

）=

1

2

，同理有f（

3

4

）=

1

2

，当x∈[

1

4

，

3

4

]时，由“非增函数”的定义可知，f（

3

4

）≤f（x）≤f（

1

4

），即f（x）=

1

2

．所以f（

5

11

）=f（

7

13

）=

1

2

．所以f（

1

8

）+f（

5

11

）+f（

7

13

）+f（

7

8

）=2，所以③成立．
④当x∈[0，

1

4

]时，x≤-2x+1，因为函数f（x）为区间D上的“非增函数”，所以f（x）≥f（-2x+1），所以f（f（x））≤f（-2x+1）≤f（x）．所以④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义．