Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{e}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{2x}，x＞0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，-1]
• C． [-2，0]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 画出函数y=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{e}）}^{x}-1，x≤0\\ \sqrt{2x}，x＞0\end{array}\right.$的图象，数形分析可得实数a的取值范围为[y′|_x=0，0]，求导可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-{e}^{-x}，x≤0\\ \sqrt{2x}，x＞0\end{array}\right.$，
∴函数y=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{e}）}^{x}-1，x≤0\\ \sqrt{2x}，x＞0\end{array}\right.$的图象如下图所示：

∵y′=$\left\{\begin{array}{l}-{（\frac{1}{e}）}^{x}，x≤0\\ \frac{\sqrt{2x}}{2x}，x＞0\end{array}\right.$，
故y′|_x=0=-1，
故若|f（x）|≥ax，则a∈[-1，0]，
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，恒成立问题，导数的几何意义，难度中档．