Question

12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则函数g（x）=f（x）-lgx的零点个数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1），得f（x+2）=f（x），即函数y=f（x）的周期为2，作出函数y=f（x）和y=lgx的图象，利用数形结合法进行求解．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），
即函数y=f（x）的周期为2，
当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
则f（-x）=2^-x-1，
∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=2^-x-1=f（x），
即f（x）=2^-x-1，x∈[-1，0]，
作出f（x）的图象如图，
由g（x）=f（x）-lgx=0，
则f（x）=lgx，
函数y=f（x）的周期为2，
当x＞10时，y=lgx＞1，此时函数y=lgx与f（x）无交点，
由图象可知两个图象的交点个数为9个，
即函数g（x）=f（x）-lgx的零点个数为9个，
故选：D．

点评 本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题．