Question

7．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-3，3]
• B． [3，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，根据已知条件得到g（x）的单调性，从而得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（x）+g（-x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²+f（-x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函数g（x）为奇函数
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，
函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，
又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，
所以函数g（x）在R上为减函数
∴f（6-m）-f（m）-18+6m
=f（6-m）+$\frac{1}{2}$（6-m）²-f（m）-$\frac{1}{2}$m²-18+6m≥0，
即g（6-m）-g（m）≥0，
∴g（6-m）≥g（m），
∴6-m≤m，
∴m≥3．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性，考查导数的应用，构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，判断出g（x）的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题．