Question

17．两个非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$不共线．
（1）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+8$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求证：A、B、D三点共线；
（2）求实数k使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=6$\overrightarrow{AB}$，即可A、B、D三点共线．
（2）由于k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线．存在实数λ使得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）．利用向量基本定理即可得出．

解答 （1）证明∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$+$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}$+$3（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$6\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$=6$\overrightarrow{AB}$，
∴A、B、D三点共线．
（2）解：∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线．
∴存在实数λ使得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）．
∴（k-2λ）$\overrightarrow{a}$+（1-λk）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-2λ=0}\\{1-λk=0}\end{array}\right.$，解得k=±$\sqrt{2}$．
∴k=±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．