Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知$\frac{3a-b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$．
（1）求sinC的值；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosC的值，进而确定出sinC的值；
（2）由cosC，c的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，即可确定出S的最大值．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：$\frac{3sinA-sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
整理得：3sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB，即3sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{3}$，
则sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
（2）∵c=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{1}{3}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-$\frac{2}{3}$ab≥2ab-$\frac{2}{3}$ab=$\frac{4}{3}$ab，
∴ab≤$\frac{9}{4}$，即S$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$ab≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
则S的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．