Question

16．偶函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω为正整数，|φ|＜$\frac{π}{2}$），且f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上递减，则f（x）的周期不可能是（　　）

• A． 2π
• B． π
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得ω，利用函数的奇偶性取得φ，得出函数的解析式，最后利用余弦函数的性质求得答案．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），
∵函数为偶函数，
∴φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosωx，
∵f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上递减，
∴函数的周期满足$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{3}$，
即T≥$\frac{2π}{3}$，
故f（x）的周期不可能是$\frac{π}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生的计算能力和细心程度．